quinta-feira, 19 de julho de 2007

De como o cálculo nasceu sem a teoria dos limites

Por Hygino H. Domingues

Os verdadeiros criadores do Cálculo, Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried W. Leibniz (1646-1716), dois dos maiores matemáticos de todos os tempos, tiveram um final de vida bem diferente um do outro. Enquanto o funeral de Leibniz foi acompanhado apenas por seu secretário, não estando presente a ele, portanto, nenhum membro da corte de Hanover, à qual o falecido servira em grande parte de sua vida, Newton foi sepultado no Mosteiro de Westminster em meio a grande pompa, com a presença de eminentes personalidades da época.

É ponto pacífico hoje que Newton e Leibniz partiram de premissas distintas e desenvolveram suas idéias sobre o Cálculo independentemente. Essas idéias remontam à segunda metade do século XVII e, embora as de Newton sejam anteriores às de Leibniz, estas foram publicadas antes. Mas uma polêmica estéril sobre a prioridade surgiu entre as partes, com desgaste maior para Leibniz. Para culminar, em 1714, o Duque Georg Ludwig, de Hanover, tornou-se o rei George I da Inglaterra e, talvez para agradar seus novos súditos, marginalizou o mais eminente de seus servidores - daí o obscuro fim de Leibniz.

Mas as raízes do Cálculo estão fincadas na Grécia, 2000 anos antes, com a invenção de um processo para a determinação de áreas, volumes e centros de gravidade que é o precursor do atualmente chamado cálculo integral. Conhecido hoje como método de exaustão, seu criador foi provavelmente Eudoxio de Cnido (390-337 a.C.) mas ninguém o exerceu com tanta maestria como Arquimedes (287-212 a.C.). Na verdade faltava operacionalidade a esse método, que tinha que ser substituída por muito engenho matemático, no que Arquimedes era insuperável.

O método de exaustão conseguia contornar o uso de "limites". Num de seus trabalhos, no cálculo de uma área, Arquimedes chegou ao que seria hoje a série: a + a/4 + a/16 + a/64 + ... . Mas na matemática grega não havia fundamento que justificasse uma soma infinita. Assim Arquimedes, depois de perceber, por meio de toda a sua argúcia matemática, que o resultado deveria ser 4a/3, provou por dupla redução ao absurdo que não poderia ser nem maior nem menor que este valor, logo teria que ser igual. Algo para gênios, sem dúvida. Ocorre que a agora bem conhecida e "democrática" fórmula S = a/(1 - q) da soma de uma P.G. infinita a + aq + aq2 + ... (para q maior ou igual a zero e menor que um) pressupõe a idéia de limite que para os gregos era inaceitável.

No século XVII vários problemas da mais alta importância e atualidade levaram à criação do cálculo diferencial em conexão com o cálculo integral, mas já havia condições matemáticas que permitiam que isso se fizesse por métodos mais operacionais. Em suma, esses problemas eram: a) determinar a velocidade e a aceleração de um corpo da sua lei de movimento; b) determinar retas tangentes a curvas; c) determinar máximos e mínimos de uma função; d) determinar comprimentos de curvas (descritas por um planeta, por exemplo), áreas, volumes e centros de gravidade.

Tanto Newton como Leibniz tiveram precursores, mas indubitavelmente foram ambos que lançaram as linhas mestras do atual Cálculo. Newton fundamentava suas idéias na cinamática e Leibniz na geometria; o cálculo de Newton era mais susceptível de se tornar rigoroso, mas em compensação o de Leibniz era mais operacional, inclusive graças a uma notação melhor (enquanto o primeiro indicava a derivada de y=f(x) por y o segundo indicava por dy/dx). Nenhum deles sequer sonhava com os "épsilon" e "delta" da atual teoria dos limites.

Se Leibniz precisasse de remissão, esta teria ocorrido na própria Inglaterra em 1812 com a fundação da "Analytical Society", que tinha como um de seus objetivos substituir no país a notação de Newton pela de Leibniz.

Comentário: Este texto possuia caracteres gregos, que são incompatíveis com o formato do fenotexto e, creio, com a linguagem php desenvolvida em blogues; tive, pois, de substituir algumas notações matemáticas e esses caracteres por suas formas por extenso. O texto foi extraído do livro "Matemática: 3ª série, 2º grau - 8ª edição", Editora Atual - São Paulo, 1990, pág. 172.

terça-feira, 17 de julho de 2007

Crônica: Sujeito com seu cotidiano interrompido.

Saía da faculdade de Direito às dez horas da noite, quando fui surpreendido por um grupo de homens armados. Todos pareciam taciturnos, e um deles empurrou-me para dentro de um carro que estava um pouco mais distante do campus. Fiquei surpreso com a inércia dos que transitavam no local, pois havia consciência dentre os transeuntes, mas a indiferença imperava naquela ocasião aterradora.

Assim que um deles deu partida ao carro, um outro atou-me as mãos e perguntou-me se o nó estava apertado, o que me deixou bastante intrigado, pois tal atitude costuma pertencer a seqüestradores profissionais. Antes que me vendassem os olhos, pude notar que estavam em cinco. Daí em diante, o silêncio usucapiu por um longo período. Suava como um porco e, por um momento, planejava mentalmente encetar algum diálogo, mas o medo de acontecer algo inesperado cerrava-me a boca e travava-me a língua. Finalmente, escutei alguns primórdios de conversa entre dois deles, os quais, salvo engano, pareciam ser o motorista e o que estava no banco do carona. Logo após esses ruídos indecifráveis, o carro pára, e eles me carregam para alguma residência, tiram-me a venda e pedem que eu fique quieto. Lembro-me muito bem de que todos usavam máscaras, uns velames pretos.

Passei alguns dias em um cômodo muito pequeno, um cubículo abjeto. Davam-me pouca água e comida, pois acho que me queriam muito magro para usarem minha imagem como ferramenta de chantagem destinada aos meus familiares. Tratava-se do seqüestro mais tradicional que poderia haver, pois passaram a se comunicar com minha família, pedindo quantias exorbitantes de dinheiro e valendo-se sempre de uma retórica califática para denotar a seriedade da ocasião. Depois de muito tempo de confinamento, já perdera as esperanças de sair vivo daquele local, pois notava, nos novos telefonemas (Sim! Conversavam muito alto), a resistência de minha família em ceder o maldito dinheiro e a crescente intolerância dos seqüestradores. Alguns dias depois, tomaram uma atitude que me surpreendeu enormemente: tiraram-me da clausura, puseram-me no carro e abandonaram-me na praça municipal.

(Por Gustavo Henrique S. A. Luna)

domingo, 15 de julho de 2007

Não é necessário arrojo algum…

Minha história com blogues sempre foi muito conturbada. Comecei com resenhas musicais desazadas e totalmente intangíveis pela parcialidade, mas o empecilho maior era a formatação das postagens. A priori, escrevia através do tal mecanismo WYSIWYG (do inglês: o que vês é o que tens) disponibilizado pelo próprio servidor do blogue (Blogger, Wordpress, etc), porém tal serviço, apesar do título, nunca funcionou e sempre me iludia o pensamento, pobre vítima influenciada pelo pseudoformato do fenotexto. Nesse período enfadonho, cheguei a escrever algumas resenhas que, com o tempo, acabaram órfãs, pois fui vencido pelo cansaço de vê-las caquéticas.

Depois de tanta apoquentação, perdurei sem escrever para internet, fato que foi colaborado por minha falta de tempo. Quase um ano depois, deparei-me com um programa promissor desenvolvido pela Microsoft, o qual propõe verdadeira atuação do antigo mecanismo maçante de visualização instantânea. Vi nele uma esperança de publicar meus textos de forma prática e segura, pois eram muitas as promessas, das quais me atraíram mais a possibilidade de elaborar e salvar postagens enquanto off-line, gerando o código php instantaneamente; formatá-las com as mais diversas ferramentas de inserção de imagens, tabelas, tags e até, quem diria, mapas; ter uma interface limpa, e poder fruir da comunicação direta entre o programa e o servidor.

Preconícios à parte, defino agora as minhas intenções com este blogue: ter meios para partilhar com os visitantes a leitura dos mais diversos tipos textuais que proponho compor (artigos, crônicas, resenhas, poesias, etc.); poder fruir da interatividade com o visitante através de seus comentários; publicar textos de autoria alheia que julgo interessantes, sempre com os devidos créditos; apoiar causas que tangem à saúde pública, como o combate ao tabagismo, a prevenção de doenças venéreas, etc; e, por fim, pretendo manter-me com o compromisso de escrever-vos periodicamente. Quanto à escolha do título deste que ledes, a razão é a denotação simples e despreocupada da palavra rascunho, que se propõe a representar neste blogue, pois, nada de tão alegórico ou angélico. Quanto às apresentações, isso é tudo. Um abraço deste que vos escreve.

(Por Gustavo Henrique S. A. Luna)

A imagem de cabeçalho é montagem de algumas obras do pintor belga Jos de Mey.